RSA加密算法简介

概述

RSA加密算法是一种非对称加密算法，在公开密钥加密和电子商业中被广泛使用。RSA是由罗纳德·李维斯特（Ron Rivest）、阿迪·萨莫尔（Adi Shamir）和伦纳德·阿德曼（Leonard Adleman）在1977年一起提出的。当时他们三人都在麻省理工学院工作。RSA就是他们三人姓氏开头字母拼在一起组成的。

前置知识

欧拉函数

在数论中，对正整数n，欧拉函数 $\displaystyle \varphi (n)$ 是小于等于 $\displaystyle n$ 的正整数中与 $\displaystyle n$ 互质的数的数目。例如 $\displaystyle \varphi \left(8\right)=4$ ，因为1、3、5和7均与8互质。

欧拉函数是积性函数，即是说若 $\displaystyle m,n$ 互质，则：

$\displaystyle \varphi (mn)=\varphi (m)\varphi (n)$

使用中国剩余定理有较简略的证明：设 $\displaystyle A,B,C$ 是跟 $\displaystyle m,n ,mn$ 互质的数的集，据中国剩余定理， $\displaystyle A\times B$ 和 $\displaystyle C$ 可建立双射（一一对应）关系，因此两者元素个数相等。

欧拉定理

在数论中，欧拉定理（也称费马-欧拉定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理表明，若 $\displaystyle n,a$ 为正整数，且 $\displaystyle n,a$ 互素（即 $\displaystyle \gcd(a,n)=1$ ），则：

$\displaystyle a^{\varphi (n)}\equiv 1{\pmod {n}}$

即 $\displaystyle a^{\varphi (n)}$ 与 $\displaystyle 1$ 在模 $\displaystyle n$ 下同余。欧拉定理实际上是费马小定理的推广。

模逆元

模逆元（Modular multiplicative inverse）也称为模倒数、数论倒数。

一整数 $\displaystyle a$ 对同余 $\displaystyle n$ 之模逆元是指满足以下公式的整数 $\displaystyle b$ ：

$\displaystyle a^{-1}\equiv b{\pmod {n}}.$

也可以写成 $\displaystyle ab\equiv 1{\pmod {n}}$ 或者 $\displaystyle ab\mod {n}=1$ 。

整数 $\displaystyle a$ 对模数 $\displaystyle n$ 之模逆元存在的充分必要条件是 $\displaystyle a$ 和 $\displaystyle n$ 互素，若此模逆元存在，在模数 $\displaystyle n$ 下的除法可以用和对应模逆元的乘法来达成，此概念和实数除法的概念相同。

RSA算法

公钥与私钥的产生

假设Alice想要通过不可靠的媒体接收Bob的私人消息。她可以用以下的方式来产生一个公钥和一个私钥：

随意选择两个大的素数 $\displaystyle p$ 和 $\displaystyle q$ ， $\displaystyle p$ 不等于 $\displaystyle q$ ，计算 $\displaystyle N=pq$ 。
根据欧拉函数，求得 $\displaystyle r=\varphi (N)=\varphi (p)\times \varphi (q)=(p-1)(q-1)$ 。
选择一个小于 $\displaystyle r$ 的整数 $\displaystyle e$ ，使 $\displaystyle e$ 与 $\displaystyle r$ 互质。并求得 $\displaystyle e$ 关于 $\displaystyle r$ 的模逆元，命名为 $\displaystyle d$ （求 $\displaystyle d$ 令 $\displaystyle ed\equiv 1{\pmod {r}}$ ）。（模逆元存在，当且仅当 $\displaystyle e$ 与 $\displaystyle r$ 互质。）
将 $\displaystyle p$ 和 $\displaystyle q$ 的记录销毁。

其中， $\displaystyle (N,e)$ 是公钥， $\displaystyle (N,d)$ 是私钥。Alice将她的公钥 $\displaystyle (N,e)$ 传给Bob，而将她的私钥 $\displaystyle (N,d)$ 藏起来。

加密消息

假设Bob想给Alice送消息 $\displaystyle m$ ，他知道Alice产生的 $\displaystyle N$ 和 $\displaystyle e$ 。他使用起先与Alice约好的格式将 $\displaystyle m$ 转换为一个小于 $\displaystyle N$ 的非负整数 $\displaystyle n$ ，比如他可以将每一个字转换为这个字的Unicode码，然后将这些数字连在一起组成一个数字。假如他的信息非常长的话，他可以将这个信息分为几段，然后将每一段转换为 $\displaystyle n$ 。用下面这个公式他可以将 $\displaystyle n$ 加密为 $\displaystyle c$ ：

$\displaystyle c=n^{e}{\bmod {N}}$

这里的 $\displaystyle c$ 可以用模幂算法快速求出来。Bob算出 $\displaystyle c$ 后就可以将它传递给Alice。

解密消息

Alice得到Bob的消息 $\displaystyle c$ 后就可以利用她的密钥 $\displaystyle d$ 来解码。她可以用以下这个公式来将 $\displaystyle c$ 转换为 $\displaystyle n$ ：

$\displaystyle c=n^{e}{\bmod {N}}$

与Bob计算 $\displaystyle c$ 类似，这里的 $\displaystyle n$ 也可以用模幂算法快速求出。得到 $\displaystyle n$ 后，她可以将原来的信息 $\displaystyle m$ 重新复原。

解码的原理是

$\displaystyle c^{d}\equiv n^{e\cdot d}\ (\mathrm {mod} \ N)$

已知 $\displaystyle ed\equiv 1{\pmod {r}}$ ，即 $\displaystyle ed=1+h\varphi (N)$ 。那么有

$\displaystyle n^{ed}=n^{1+h\varphi (N)}=n\cdot n^{h\varphi (N)}=n\left(n^{\varphi (N)}\right)^{h}$

若 $\displaystyle n$ 与 $\displaystyle N$ 互素，则由欧拉定理得：

$\displaystyle n^{ed}\equiv n\left(n^{\varphi (N)}\right)^{h}\equiv n(1)^{h}\equiv n{\pmod {N}}$

若 $\displaystyle n$ 与 $\displaystyle N$ 不互素，则不失一般性考虑 $\displaystyle n=ph$ ，以及 $\displaystyle ed-1=k(q-1)$ ，得：

$\displaystyle n^{ed}=(ph)^{ed}\equiv 0\equiv ph\equiv n{\pmod {p}}$

$\displaystyle n^{ed}=n^{ed-1}n=n^{k(q-1)}n=(n^{q-1})^{k}n\equiv 1^{k}n\equiv n{\pmod {q}}$

故 $\displaystyle n^{ed}\equiv n{\pmod {N}}$ 得证。

签名消息

RSA也可以用来为一个消息署名。假如Alice想给Bob传递一个署名的消息的话，那么她可以为她的消息计算一个散列值（Message digest），然后用她的私钥“加密”（如同前面“加密消息”的步骤）这个散列值并将这个“署名”加在消息的后面。这个消息只有用她的公钥才能被解密。Bob获得这个消息后可以用Alice的公钥“解密”（如同前面“解密消息”的步骤）这个散列值，然后将这个数据与他自己为这个消息计算的散列值相比较。假如两者相符的话，那么Bob就可以知道发信人持有Alice的私钥，以及这个消息在传播路径上没有被篡改过。

RSA安全性

假设偷听者Eve获得了Alice的公钥 $\displaystyle N$ 和 $\displaystyle e$ 以及Bob的加密消息 $\displaystyle c$ ，但她无法直接获得Alice的密钥 $\displaystyle d$ 。要获得 $\displaystyle d$ ，最简单的方法是将 $\displaystyle N$ 分解为 $\displaystyle p$ 和 $\displaystyle q$ ，这样她可以得到同余方程